Trasformazioni Galileiane. Principi o no! Opzioni

[Freddie]

Davidem

Le trasformazioni di Galileo da cosa si deducono?
La meccanica Newtonian si deduce da:

Concetto di spazio assoluto + concetto di tempo assoluto + Assiomi della geometria euclidea + i tre principi della meccanica.

Si può formulare una meccanica sostituendo qualcuno dei postulati precedenti con le trasformazioni di Galileo? Un po' come si fa con la meccanica relativistica.

Secondo me i postulati che sostituirebbero dovrebbero essere quelli di spazio e tempo. I principi della meccanica non dovrebbero entrarci per niente.

Qualcuno ha qualche idea da suggerire?

phys-

Ti rispondo più avanti perché queste sono questioni profonde, che non vanno prese sottogamba.
Vado a prendere l'Arnold (fisico russo): "Principi matematici della meccanica classica", che ha un capitolo introduttivo il quale spiega in modo semplice e conciso la struttura assiomatica della meccanica classica.

Per il resto, la scelta dei postulati deve essere suggerita dalle osservazioni sperimentali; sono queste che hanno indicato cosa sostituire a quelli della meccanica newtoniana per ottenere la meccanica relativistica e quella quantistica.


W28

Le trasformazioni di Galileo sono semplici espessioni matematiche(che derivano dalla geometria euclidea)del tipo se io mi muovo su una strada rettilinea a 30 kmh e c'è una auto che si allondana da me di 10 km ogni ora (a volte il sistema internazionale basato su metri e secondie più comodo comunque...) la velocita dell'auto non è altro che la somma delle due velocità (la cosa funziona bene anche se non si sta proprio su una linea retta ma in 3 dimensioni basta introdure il concetto di vettore velocità)

In realtà i principi della dinamica non cetrano per niente con le trasformazioni di galileo infatti esse è solo cinematica cioè geometria del movimento la dinamica e quindi la meccanica classica entra in gioco solo con f=ma


altra cosa sconvolgente è che se si rinuncia al principio che F=ma (la formula più nota della meccanica e per altro chè infondo ad essa le trasformazioni di galileo) le leggi della fisica classica valgono anche nella meccanica einstaniana solo sostituendo alle trasformazioni di Galileo quelle di Lorenz

Cioè Galileo pensa che il tempo non dipendesse dal sistema di riferimento scelto (come entità assoluta) e lo spazio infece dipendesse dal tempo e dal sistema di riferimento (lo so che la cosa è ostrica ma imponendomi di non usare gli integrali o strumenti della "matematica avanzata" non posso far ricadere in considerazioni filosofiche (in fondo pero stò in un forum di filosofi) (se qualcuno mi autorizza a usare qualche volta gli integrali poi gli spiego cosa sono))


p.s. è il mio primo messaggio non posso venire qui è parlare di integrali mi sembra scortese visto che non si è mai fatto come ho potuto vedere



phys-

Rispondo ora più esaurientemente, prima di lasciare la parola all'Arnold.

Le trasformazioni di Galileo da cosa si deducono?

Le trasformazioni di Galileo non si deducono: esse sono assiomi della fisica classica che si ricavano generalizzando l'osservazione empirica; sono indipendenti dalle leggi della dinamica come nota giustamente W28, e individuano quelle trasformazioni (traslazioni temporali e spaziali, rotazioni, moti a velocità uniforme) che lasciano invariate le leggi della fisica.
Una indicazione più rigorosa di questi concetti è nelle pagine scansite sotto.

La meccanica Newtonian si deduce da:

Concetto di spazio assoluto + concetto di tempo assoluto + Assiomi della geometria euclidea + i tre principi della meccanica.


Non proprio: gli assiomi della meccanica newtoniana si riassumono in:
- assiomi di spazio lineare (o vettoriale)
- assiomi di spazio affine
- descrizione dello spazio degli eventi come spazio affine 4-dimensionale
- assiomi della metrica (per eventi contemporanei, e intervallo di tempo tra eventi)
- gruppo di trasformazioni di Galileo
(gli assiomi sopra insieme effettivamente formano una geometria euclidea in senso moderno nello spazio degli eventi, e una geometria equivalente a quella euclidea classica nei sottospazi degli eventi contemporanei)
- principio di determinismo di Newton (con la precisazione che lo stato di un sistema è definito da posizione e velocità).
(in questo senso le "tre leggi" sono ridondanti, e ad esempio si può dedurre la prima dagli assiomi precedenti: si veda esercizio nel testo)
- descrizione esplicita delle forze
(es. legge di gravitazione)

altra cosa sconvolgente è che se si rinuncia al principio che F=ma (la formula più nota della meccanica e per altro chè infondo ad essa le trasformazioni di galileo) le leggi della fisica classica valgono anche nella meccanica einstaniana solo sostituendo alle trasformazioni di Galileo quelle di Lorenz

Ma come? Prima dici (giustamente) che le trasformazioni di Galileo sono indipendenti dalle leggi di Newton (almeno dalla seconda legge), e hanno invece un contenuto geometrico e cinematico, e ora affermi che in fondo ad F = ma ci sono quelle trasformazioni?
F = ma è l'espressione precisa del principio di determinismo, nella quale si indica che è la derivata seconda (a = x'') della posizione a essere ricavabile una volta nota la forma della forza che dipende dalle derivate di ordine minore e dal tempo (F = F (x', x, t) a priori).
Inoltre nella meccanica relativistica è vero che in generale non vale F = ma, tuttavia vale ancora F = p' in stretta analogia poiché in meccanica classica la quantità di moto p è definita come p = mx'.

Cioè Galileo pensa che il tempo non dipendesse dal sistema di riferimento scelto (come entità assoluta) e lo spazio infece dipendesse dal tempo e dal sistema di riferimento

Sia spazio che tempo dipendono dal sistema di riferimento nella descrizione di Galileo: neanche la retta del tempo ha un istante preferenziale.
Infine, la nozione di integrale puoi anche introdurla parlando di meccanica ma mi sembra che sia più importante la sua inversa, cioé quella di derivata, in una discussione sugli assiomi, proprio per la sua centralità nella seconda legge di Newton.



Riporto sotto un estratto da: V.I. Arnold, Principi matematici della meccanica classica, Ed. Mir (pagine 11-19)